ЗМІСТ Лекція 1. Арифметика 3 1.1. Натуральні числа 3 1.2. Цілі числа 6 1.3. Ділення з остачею 8 1.4. Подільність натуральних чисел 9 1.5. Взаємно-прості та прості числа. НОК ТА НОД. Ознаки подільності натуральних чисел 10 1.6. Раціональні числа. Арифметичні дії з раціональними числами 12 1.7. Відношення та пропорції 18 1.8. Десяткові дроби 20 1.9. Відсотки 22 1.10. Нескінченні десяткові дроби. Періодичні десяткові дроби 25 1.11. Поняття про ірраціональні числа. Дійсні числа 28 1.12. Модуль дійсного числа, його властивості 31 Лекція 2. Алгебраїчні вирази та їх перетворення 33 2.1. Основні поняття та формули 33 2.2. Ділення многочленів 34 2.3. Корінь n-го степеня з дійcного числа. Арифметичний корінь n-го степеня. Правила дій із коренями 40 2.4. Степінь із раціональним показником 46 2.5. Перетворення числових та алгебраїчних виразів 47 Лекція 3. Радикали. Узагальнення поняття показника 59 3.1. Властивості ступенів і коренів 59 3.2. Дії з радикалами 61 3.3. Обчислення ірраціональних виразів 66 3.4. Оцінки для радикалів 70 Лекція 4. Алгебраїчні рівняння 77 4.1. Загальні відомості про рівняння 77 4.2. Рівняння першого степеня з одним невідомим 78 4.3. Рівняння другого степеня з одним невідомим 83 4.4. Задачі на використання властивостей дискримінанта 86 4.5. Використання формул Вієта 88 4.6. Розміщення коренів квадратного рівняння 92 4.7. Алгебраїчні рівняння вищих степенів та їхні властивості 98 4.8. Розкладання многочлена на множники 100 4.9. Рівняння, що зводяться до квадратних рівнянь 108 4.10. Метод Кардано для рішення кубічного рівняння 124 4.11. Уведення параметра замість сталого коефіцієнта 125 4.12. Новий метод розв’язування кубічного алгебраїчного рівняння 126 4.13. Метод Феррарі для розв’язування рівнянь четвертого степеня 130 4.14. Метод заміни рівняння системою двох рівнянь 132 4.15. Розв’язування рівнянь у цілих числах 133 Лекція 5. Ірраціональні рівняння 139 5.1. Розв’язування найпростіших ірраціональних рівнянь із відшуканням ОДЗ 140 5.2. Піднесення обох частин рівняння до квадрата 141 5.3. Метод заміни 143 5.4. Виділення повного квадрата 147 5.5. Множення обох частин рівняння на вираз, спряжений до виразу в лівій частині 150 5.6. Однорідні ірраціональні рівняння 151 5.7. Розкладання на множники 153 5.8. Рівняння з кубічними ірраціональностями 154 5.9. Заміна радикалів новими невідомими 156 5.10. Уведення параметра 158 5.11. Рівняння з модулями 160 5.12. Системи ірраціональних рівнянь 163 Лекція 6. Тригонометричні вирази та їх перетворення 171 6.1. Відношення сторін трикутника 171 6.2. Означення і графіки тригонометричних функцій 174 6.3. Основні тригонометричні тотожності 181 6.4. Формули додавання кутів 182 6.5. Формули зведення 184 6.6. Перетворення добутків тригонометричних функцій на суми 186 6.7. Формули додавання та віднімання тригонометричних функцій 186 6.8. Подання тригонометричних функцій через тангенсів половинного кута 188 6.9. Обчислення похідних тригонометричних функцій 188 6.10. Приклади перетворень тригонометричних виразів 189 Лекція 7. Обернені тригонометричні функції. Тригонометричні рівняння 203 7.1. Обернена функція 203 7.2. Графік і властивості функції y = arcsin x 204 7.3. Графік і властивості функції y = arccos x 206 7.4. Графік і властивості функції y = arctg x 208 7.5. Графік і властивості функції y = arcctg x 210 7.6. Рівняння з оберненими тригонометричними функціями 214 7.7. Основні найпростіші тригонометричні рівняння 217 7.8. Лінійне тригонометричне рівняння 221 7.9. Зведення тригонометричного рівняння до алгебраїчного 222 7.10. Розкладання рівняння на множники 224 7.11. Рівність однойменних функцій 224 7.12. Перетворення добутків на суми, а сум на добутки 227 7.13. Розв’язування, що ґрунтується на обмеженості функцій 228 7.14. Системи тригонометричних рівнянь 229 Лекція 8. Показникові та логарифмічні рівняння 241 8.1. Показникова функція 242 8.2. Логарифмічна функція 243 8.3. Приклади перетворень логарифмічних виразів 245 8.4. Способи розв’язання логарифмічних рівнянь 247 8.5. Способи розв’язування показникових рівнянь 251 8.6. Показниково-степеневі рівняння 254 8.7. Системи показникових і логарифмічних рівнянь 256 Лекція 9. Розв’язування нерівностей 262 9.1. Основні поняття 262 9.2. Нерівності першого степеня з одним невідомим 263 9.3. Квадратні нерівності 264 9.4. Метод інтервалів 266 9.5. Ірраціональні нерівності 268 9.6. Показникові нерівності 271 9.7. Логарифмічні нерівності 272 9.8. Деякі типові задачі, що зводяться до розв’язування системи нерівностей 275 9.9. Тригонометричні нерівності 276 9.10. Алгебраїчні нерівності 282 Лекція 10. Системи алгебраїчних рівнянь 290 10.1. Система лінійних алгебраїчних рівнянь 290 10.2. Системи двох рівнянь із двома невідомими 292 10.3. Системи рівнянь із трьома невідомими 305 Лекція 11. Задачі на складання систем рівнянь та нерівностей 308 11.1. Хімічні задачі 308 11.2. Задачі на рух 319 11.3. Задачі, в яких кількість невідомих перевищує кількість рівнянь системи 326 11.4. Задачі, що розв’язуються за допомогою нерівностей 330 11.5. Задачі з цілочисловими невідомими 334 11.6. Задачі, в яких потрібно знаходити найбільші і найменші значення деяких виразів 339 Лекція 12. Задачі з параметром 345 12.1. Лінійні рівняння з параметром 346 12.2. Квадратні рівняння з параметром 349 12.3. Графічне розв’язування рівнянь із параметрами 361 12.4. Дослідження та розв’язування систем лінійних рівнянь із двома невідомими параметрами 364 Лекція 13. Похідна та її застосування 369 13.1. Відомості з історії 369 13.2. Похідна 374 Лекція 14. Функції та їхні графіки 391 14.1. З історії поняття функції 391 14.2. Числова функція 393 14.3. Графік функції 394 14.4. Перетворення графіків 395 14.5. Відображення 401 14.6. Парні і непарні функції. Періодичність тригонометричних функцій 405 14.7. Періодичні функції 408 14.7. Зростання та спадання функцій 413 14.8. Екстремуми 414 14.9. Дослідження функцій 417 14.10. Ознаки зростання та спадання функції 420 14.11. Критичні точки функції, максимуми і мінімуми 422 Лекція 15. Основи геометрії 426 15.1. Основні поняття планіметрії. Трикутники та їхні властивості 426 15.2. Паралельність. Паралелограм і трапеція. Подібність трикутників 428 15.3. Чотирикутники 433 15.4. Коло і круг. Число π 434 15.5. Визначні точки в трикутнику 437 15.6. Метричні теореми планіметрії. Формули площі трикутника 439 15.7. Основні аксіоми та найпростіші теореми стереометрії 444 15.8. Перпендикулярність у просторі. Проекція прямої. Двогранний кут 445 15.9. Многогранники. Площі поверхонь. Об’єм многогранників 449 15.10 Циліндр. Конус. Сфера, куля та її частини 452 Лекція 16. Основи векторної алгебри та аналітичної геометрії 457 16.1. Означення та основні властивості векторів 457 16.2. Скалярний добуток векторів, його властивості 460 16.3. Координати вектора 462 16.4. Векторний добуток 464 16.5. Аналітична геометрія 464 Лекція 17. Комплексні числа 503 17.1. Походження комплексних чисел 503 17.2. Означення комплексних чисел 504 17.3. Дії з комплексними числами 508 17.4. Дії з комплексними числами у тригонометричній формі 510 17.5. Показникова функція. Формули Ейлера 512 17.6. Гіперболічні функції 514 17.7. Логарифмічна функція 517 17.8. Обернені тригонометричні функції 519 Лекція 18. Основи комбінаторики та теорії імовірностей 524 18.1. Елементи комбінаторики 524 18.2. Випадкові події, імовірність подій 528 18.3. Теорема додавання ймовірностей 531 18.4. Теореми множення ймовірностей 534 18.5. Формула повної імовірності. Формула Баєса 535 18.6. Повторення випробувань. Формула Бернуллі 537 Залікова робота 539 Література
|