Лекція 1. Арифметика 3
1.1. Натуральні числа 3
1.2. Цілі числа 6
1.3. Ділення з остачею 8
1.4. Подільність натуральних чисел 9
1.5. Взаємно-прості та прості числа. НОК ТА НОД. Ознаки подільності натуральних чисел 10
1.6. Раціональні числа. Арифметичні дії з раціональними числами 12
1.7. Відношення та пропорції 18
1.8. Десяткові дроби 20
1.9. Відсотки 22
1.10. Нескінченні десяткові дроби. Періодичні десяткові дроби 25
1.11. Поняття про ірраціональні числа. Дійсні числа 28
1.12. Модуль дійсного числа, його властивості 31
Лекція 2. Алгебраїчні вирази та їх перетворення 33
2.1. Основні поняття та формули 33
2.2. Ділення многочленів 34
2.3. Корінь n-го степеня з дійcного числа. Арифметичний корінь n-го степеня. Правила дій із коренями 40
2.4. Степінь із раціональним показником 46
2.5. Перетворення числових та алгебраїчних виразів 47
Лекція 3. Радикали. Узагальнення поняття показника 59
3.1. Властивості ступенів і коренів 59
3.2. Дії з радикалами 61
3.3. Обчислення ірраціональних виразів 66
3.4. Оцінки для радикалів 70
Лекція 4. Алгебраїчні рівняння 77
4.1. Загальні відомості про рівняння 77
4.2. Рівняння першого степеня з одним невідомим 78
4.3. Рівняння другого степеня з одним невідомим 83
4.4. Задачі на використання властивостей дискримінанта 86
4.5. Використання формул Вієта 88
4.6. Розміщення коренів квадратного рівняння 92
4.7. Алгебраїчні рівняння вищих степенів та їхні властивості 98
4.8. Розкладання многочлена на множники 100
4.9. Рівняння, що зводяться до квадратних рівнянь 108
4.10. Метод Кардано для рішення кубічного рівняння 124
4.11. Уведення параметра замість сталого коефіцієнта 125
4.12. Новий метод розв’язування кубічного алгебраїчного рівняння 126
4.13. Метод Феррарі для розв’язування рівнянь четвертого степеня 130
4.14. Метод заміни рівняння системою двох рівнянь 132
4.15. Розв’язування рівнянь у цілих числах 133
Лекція 5. Ірраціональні рівняння 139
5.1. Розв’язування найпростіших ірраціональних рівнянь із відшуканням ОДЗ 140
5.2. Піднесення обох частин рівняння до квадрата 141
5.3. Метод заміни 143
5.4. Виділення повного квадрата 147
5.5. Множення обох частин рівняння на вираз, спряжений до виразу в лівій частині 150
5.6. Однорідні ірраціональні рівняння 151
5.7. Розкладання на множники 153
5.8. Рівняння з кубічними ірраціональностями 154
5.9. Заміна радикалів новими невідомими 156
5.10. Уведення параметра 158
5.11. Рівняння з модулями 160
5.12. Системи ірраціональних рівнянь 163
Лекція 6. Тригонометричні вирази та їх перетворення 171
6.1. Відношення сторін трикутника 171
6.2. Означення і графіки тригонометричних функцій 174
6.3. Основні тригонометричні тотожності 181
6.4. Формули додавання кутів 182
6.5. Формули зведення 184
6.6. Перетворення добутків тригонометричних функцій на суми 186
6.7. Формули додавання та віднімання тригонометричних функцій 186
6.8. Подання тригонометричних функцій через тангенсів половинного кута 188
6.9. Обчислення похідних тригонометричних функцій 188
6.10. Приклади перетворень тригонометричних виразів 189
Лекція 7. Обернені тригонометричні функції.
Тригонометричні рівняння 203
7.1. Обернена функція 203
7.2. Графік і властивості функції y = arcsin x 204
7.3. Графік і властивості функції y = arccos x 206
7.4. Графік і властивості функції y = arctg x 208
7.5. Графік і властивості функції y = arcctg x 210
7.6. Рівняння з оберненими тригонометричними функціями 214
7.7. Основні найпростіші тригонометричні рівняння 217
7.8. Лінійне тригонометричне рівняння 221
7.9. Зведення тригонометричного рівняння до алгебраїчного 222
7.10. Розкладання рівняння на множники 224
7.11. Рівність однойменних функцій 224
7.12. Перетворення добутків на суми, а сум на добутки 227
7.13. Розв’язування, що ґрунтується на обмеженості функцій 228
7.14. Системи тригонометричних рівнянь 229
Лекція 8. Показникові та логарифмічні рівняння 241
8.1. Показникова функція 242
8.2. Логарифмічна функція 243
8.3. Приклади перетворень логарифмічних виразів 245
8.4. Способи розв’язання логарифмічних рівнянь 247
8.5. Способи розв’язування показникових рівнянь 251
8.6. Показниково-степеневі рівняння 254
8.7. Системи показникових і логарифмічних рівнянь 256
Лекція 9. Розв’язування нерівностей 262
9.1. Основні поняття 262
9.2. Нерівності першого степеня з одним невідомим 263
9.3. Квадратні нерівності 264
9.4. Метод інтервалів 266
9.5. Ірраціональні нерівності 268
9.6. Показникові нерівності 271
9.7. Логарифмічні нерівності 272
9.8. Деякі типові задачі, що зводяться до розв’язування системи нерівностей 275
9.9. Тригонометричні нерівності 276
9.10. Алгебраїчні нерівності 282
Лекція 10. Системи алгебраїчних рівнянь 290
10.1. Система лінійних алгебраїчних рівнянь 290
10.2. Системи двох рівнянь із двома невідомими 292
10.3. Системи рівнянь із трьома невідомими 305
Лекція 11. Задачі на складання систем рівнянь
та нерівностей 308
11.1. Хімічні задачі 308
11.2. Задачі на рух 319
11.3. Задачі, в яких кількість невідомих перевищує кількість рівнянь системи 326
11.4. Задачі, що розв’язуються за допомогою нерівностей 330
11.5. Задачі з цілочисловими невідомими 334
11.6. Задачі, в яких потрібно знаходити найбільші і найменші значення деяких виразів 339
Лекція 12. Задачі з параметром 345
12.1. Лінійні рівняння з параметром 346
12.2. Квадратні рівняння з параметром 349
12.3. Графічне розв’язування рівнянь із параметрами 361
12.4. Дослідження та розв’язування систем лінійних рівнянь із двома невідомими параметрами 364
Лекція 13. Похідна та її застосування 369
13.1. Відомості з історії 369
13.2. Похідна 374
Лекція 14. Функції та їхні графіки 391
14.1. З історії поняття функції 391
14.2. Числова функція 393
14.3. Графік функції 394
14.4. Перетворення графіків 395
14.5. Відображення 401
14.6. Парні і непарні функції. Періодичність тригонометричних функцій 405
14.7. Періодичні функції 408
14.7. Зростання та спадання функцій 413
14.8. Екстремуми 414
14.9. Дослідження функцій 417
14.10. Ознаки зростання та спадання функції 420
14.11. Критичні точки функції, максимуми і мінімуми 422
Лекція 15. Основи геометрії 426
15.1. Основні поняття планіметрії. Трикутники та їхні властивості 426
15.2. Паралельність. Паралелограм і трапеція. Подібність трикутників 428
15.3. Чотирикутники 433
15.4. Коло і круг. Число π 434
15.5. Визначні точки в трикутнику 437
15.6. Метричні теореми планіметрії. Формули площі трикутника 439
15.7. Основні аксіоми та найпростіші теореми стереометрії 444
15.8. Перпендикулярність у просторі. Проекція прямої. Двогранний кут 445
15.9. Многогранники. Площі поверхонь. Об’єм многогранників 449
15.10 Циліндр. Конус. Сфера, куля та її частини 452
Лекція 16. Основи векторної алгебри
та аналітичної геометрії 457
16.1. Означення та основні властивості векторів 457
16.2. Скалярний добуток векторів, його властивості 460
16.3. Координати вектора 462
16.4. Векторний добуток 464
16.5. Аналітична геометрія 464
Лекція 17. Комплексні числа 503
17.1. Походження комплексних чисел 503
17.2. Означення комплексних чисел 504
17.3. Дії з комплексними числами 508
17.4. Дії з комплексними числами у тригонометричній формі 510
17.5. Показникова функція. Формули Ейлера 512
17.6. Гіперболічні функції 514
17.7. Логарифмічна функція 517
17.8. Обернені тригонометричні функції 519
Лекція 18. Основи комбінаторики та теорії імовірностей 524
18.1. Елементи комбінаторики 524
18.2. Випадкові події, імовірність подій 528
18.3. Теорема додавання ймовірностей 531
18.4. Теореми множення ймовірностей 534
18.5. Формула повної імовірності. Формула Баєса 535
18.6. Повторення випробувань. Формула Бернуллі 537
Залікова робота 539
Література